CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

L’expression «calcul infinitésimal» désigne habituellement l’ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations, tel qu’il a été mis au point au cours des XVII^e et XVIII^e siècles, instrument merveilleux qui ouvrit aux mathématiques des voies nouvelles, aussi vastes que fécondes, et permit d’aborder l’étude théorique des problèmes fondamentaux de la philosophie naturelle. Si cette expression apparaît à la fois claire et commode, son emploi est toujours resté assez limité. Tandis que le premier traité qui s’y rapporte de façon indiscutable, celui du marquis de l’Hôpital (Paris, 1696), porte, en effet, le titre d’Analyse des infiniment petits , Fontenelle, en 1727, parle à son sujet de «géométrie de l’infini», expression que d’Alembert reprend à son tour dans le tome VII de l’Encyclopédie , en la définissant comme «la nouvelle géométrie des infiniment petits, concernant les règles du calcul différentiel et intégral». L’expression d’«analyse infinitésimale», popularisée par un ouvrage célèbre d’Euler, Introductio in analysis infinitorum (Lausanne, 1748), a été peut-être plus largement diffusée, spécialement au cours du XIX^e siècle, avant de céder progressivement la place à celle, plus vague et plus générale, d’analyse mathématique, voire même au simple terme d’analyse ^{[cf. ANALYSE MATHÉMATIQUE]}. Après avoir longtemps employé l’expression concurrente de «calcul des fluxions» (calculus of fluxions ) qui mettait l’accent sur la notation originale introduite par Newton, les Anglais ont pris l’habitude d’employer le terme de calculus .

1. Premiers essais

Premières réflexions infinitésimales

Abandonnant ces subtilités de vocabulaire, nous évoquerons maintenant l’ensemble des travaux, des courants d’idées et des réflexions qui, à des titres divers, ont contribué à l’édification de cette branche si importante des mathématiques modernes.

Parmi ces courants, on ne peut ignorer les premières préoccupations d’ordre infinitésimal auxquelles se heurtèrent les Grecs du V^e siècle avant notre ère, soit lors de leur première rencontre avec la notion de nombre incommensurable, soit lors de la formulation des célèbres paradoxes de Zénon d’Élée, qui témoignent des difficultés suscitées par les concepts de divisibilité à l’infini, d’infiniment petit et de limite, envisagés à la fois sur le plan abstrait et sur le plan concret.

Disciple indirect de Zénon, fondateur, avec Leucippe, de l’école atomiste, Démocrite considère que les grandeurs: lignes, surfaces, volumes... sont formées d’éléments indivisibles en nombre fini. La plupart de ses écrits étant perdus, il est impossible de préciser comment il envisageait d’appliquer sa méthode en mathématiques. Archimède lui attribue, toutefois, un rôle essentiel dans la mise au point d’importants résultats de nature infinitésimale concernant certaines aires ou certains volumes.

Vers cette même époque (fin du V^e siècle), Antiphon fit le premier essai d’une méthode infinitésimale de démonstration, qui, perfectionnée spécialement par Eudoxe et par Archimède, fut, au XVII^e siècle, dénommée «méthode d’exhaustion» par Grégoire de Saint-Vincent. Cette première tentative avait pour objet de définir le périmètre d’un cercle comme limite du périmètre d’un polygone régulier inscrit dont le nombre des côtés double indéfiniment; cette méthode sera d’ailleurs reprise par Archimède de manière beaucoup plus rigoureuse.

Eudoxe et la méthode d’exhaustion

Mais le principal obstacle épistémologique rencontré par les mathématiciens grecs du V^e siècle venait, pour l’essentiel, de l’impossibilité de concevoir alors sous forme abstraite la notion générale de nombre réel. Au IV^e siècle, Eudoxe surmonta cet obstacle en élaborant une figuration concrète de cette notion, la théorie générale des rapports, dont Euclide donne un excellent exposé au livre V de ses Éléments. Mais, bien que les mathématiciens les plus éminents, Archimède en tout premier lieu, aient réussi à utiliser cette théorie avec un sens remarquable de la rigueur, cet emploi exclusif les obligeait à rejeter tout essai d’étude abstraite des problèmes infinitésimaux et à aborder ceux-ci sous une forme exclusivement géométrique. C’est Eudoxe, qui, au témoignage d’Archimède, réussit à présenter sous une forme inattaquable certains raisonnements antérieurement présentés par Démocrite. Le livre XII des Éléments d’Euclide nous offre une version probablement assez fidèle des raisonnements par lesquels Eudoxe triompha de plusieurs problèmes, d’apparence élémentaire, qui relèvent, en fait, du calcul intégral: rapport des aires de deux cercles (égal au rapport des carrés de leurs diamètres), volumes de la pyramide et du cône. La méthode eudoxienne de démonstration par «exhaustion» est parfaitement rigoureuse, mais suppose la connaissance préalable du résultat. Elle tend, en effet, à montrer que celui-ci ne peut être ni inférieur ni supérieur à la valeur supposée, en se fondant sur une proposition qui figure au début du livre X des Éléments d’Euclide: «Deux grandeurs inégales étant données, si l’on retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l’on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et si l’on fait toujours la même chose, il restera une certaine grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées.»

2. L’œuvre d’Archimède

Le précurseur du calcul infinitésimal

Mais c’est à Archimède que l’on doit les applications les plus nombreuses, les plus originales et les plus spectaculaires de la méthode d’exhaustion à la résolution de problèmes infinitésimaux, applications relevant pour la plupart du calcul intégral et, pour un cas seulement, du calcul différentiel.

Dans le domaine du calcul intégral, Archimède réalise des quadratures ou déterminations d’aires (cercle, segment de parabole, aires diverses liées à la spirale d’Archimède, aires latérales de cylindres et de cônes, sphères), des cubatures ou déterminations de volumes (pyramides, cône, sphère et segment de sphère, segments de quadriques de révolution), des déterminations de centres de gravité (intéressant en particulier la plupart des surfaces et des volumes précédemment mentionnés). Il réussit également à déterminer de façon rigoureuse la longueur de la circonférence de cercle (problème de rectification de courbe), suivant une méthode, aujourd’hui classique dans l’enseignement élémentaire, qu’il développa dans son traité de la Mesure du cercle.

Sa méthode de démonstration en calcul intégral est fondée sur une axiomatique rigoureuse et sur le recours systématique au procédé eudoxien d’exhaustion et, pour ce faire, à l’inévitable raisonnement par l’absurde. Cependant les considérations de statique qui apparaissent fréquemment dénotent la puissante originalité de leur auteur et révèlent son souci d’adapter des considérations théoriques d’une rigueur irréprochable à l’étude des problèmes fondamentaux rencontrés au cours de ses recherches d’ordre physicomécanique.

L’aire du segment de parabole

L’exemple de l’aire du segment de parabole permet d’avoir une idée précise des différentes préoccupations d’Archimède et de la variété des moyens que lui procure l’étendue de son génie.

Les diverses méthodes qu’il présente pour déterminer cette aire du segment S, délimité par un arc de parabole et la corde AB qui joint les extrémités de cet arc, ont pour principe commun de la comparer soit à l’aire du triangle ABT, circonscrit à ce segment (triangle déterminé par AB et par les tangentes à l’arc de parabole en ses extrémités), soit à l’aire d’un triangle inscrit particulier ABC, ayant pour troisième sommet C, le sommet de l’arc, c’est-à-dire le point où la tangente est parallèle à AB (il est aisé de voir que l’aire de ce triangle ABC est le quart de celle du triangle ABT). Le traité de la Quadrature de la parabole présente successivement deux méthodes pour déterminer cette aire. La première, qui fait un assez large appel à des considérations de statique, lui permet d’établir que le rapport de l’aire du triangle ABT à celle du segment de parabole, ne pouvant être ni supérieur ni inférieur à 3, est égal à ce nombre. La seconde méthode, plus proche de celle qu’Eudoxe avait utilisée dans la cubature de la pyramide, vise à déterminer le rapport de l’aire du segment de parabole à celle du triangle ABC (fig. 1). À cette fin, elle considère l’aire du segment de parabole comme la limite de la suite infinie des aires de polygones déterminés, chacun à partir du précédent, par doublement du nombre des côtés et introduction comme sommets intermédiaires des «sommets» des arcs de parabole limités par les côtés de ce dernier. Le rapport cherché apparaît ainsi comme la limite de la suite infinie croissante:

limite qu’Archimède montre être égale à 4/3. Une double démonstration par l’absurde lui permet alors d’établir que l’aire du segment de parabole ne peut être ni inférieure ni supérieure aux 4/3 de celle du triangle inscrit ABC.

Il apparaît clairement que, si ces deux méthodes permettent de démontrer l’exactitude d’un résultat connu à l’avance, elles ne peuvent en aucune façon permettre de découvrir ce dernier. Il en est de même des nombreuses autres démonstrations de caractère infinitésimal données par Archimède dans ses différents écrits, du moins dans ceux qui étaient connus avant la redécouverte, en 1906, d’une sorte de testament scientifique où il révèle partiellement le secret de ses découvertes. Ce texte, cité en général par le titre abrégé de Méthode , se présente sous la forme d’une lettre adressée par Archimède à son ami le géographe Ératosthène, pour l’informer sur sa méthode heuristique, dont il s’était efforcé d’éliminer toute trace dans ses écrits précédents. Il montre que cette méthode repose essentiellement sur des considérations de statique, en particulier sur la notion de moment statique, et sur une conception qui, sous une forme encore indécise et implicite, préfigure celle d’intégrale définie, ou du moins en donne une image géométrique.

Dans le cas particulier évoqué de l’aire du segment de parabole, la méthode repose sur le découpage de la surface S considérée par des droites parallèles en sections de faible épaisseur et consiste à équilibrer ces sections avec d’autres qui sont les éléments d’un triangle . Les deux surfaces étant considérées comme la somme de leurs sections («Le segment parabolique est composé de toutes les cordes parallèles à un diamètre», écrit-il en effet sous une forme symbolique que nous retrouverons au XVII^e siècle chez Cavalieri), on peut, à partir de considérations générales d’équilibre, déduire l’aire de S de celle de .

La tradition archimédienne

Mais la Méthode fut ignorée de tous les successeurs d’Archimède, qui ne connurent que ses lourdes et rigoureuses démonstrations par exhaustion, dépourvues de toute valeur heuristique. Aussi, ne faut-il pas s’étonner si, malgré sa richesse et son originalité, cette œuvre n’inspira qu’assez peu les chercheurs, du moins tant que de nouvelles voies d’accès ne permirent pas d’aborder le vaste secteur ainsi découvert. Un autre obstacle certain à la diffusion de l’œuvre infinitésimale archimédienne est l’absence d’un corps général de doctrine, d’une claire prise de position sur la parenté existant entre les différents problèmes traités, parenté qui, pour le lecteur moderne, tient au fait que ces problèmes correspondent à différentes figurations géométriques de types d’intégrales en nombre très réduit, surtout:

Il faut encore rappeler qu’Archimède, du fait qu’il délaisse pratiquement la cinématique, n’aborde guère le calcul différentiel que par un exemple, celui de la tangente à la célèbre spirale dite d’Archimède, en dehors, bien entendu, des cas élémentaires, déjà bien connus avant lui, des tangentes au cercle et aux coniques.

Pour Archimède, la tangente à une courbe C en un de ses points M est une droite passant par ce point et restant, tout au moins dans le voisinage de celui-ci, extérieure à la figure. Il est donc indispensable d’établir non seulement l’existence d’une telle droite, mais aussi, le cas échéant, son unicité. Dans le cas type de la spirale, l’analyse d’Archimède, assez difficile à suivre pour un lecteur moderne de par sa complexité même, repose sur la connaissance préalable du résultat, sur la réduction du problème transcendant posé à deux problèmes algébriques de degré supérieur à 2 et sur l’emploi de la méthode «apagogique» ou de «réduction à l’absurde».

Quelles que soient les réserves que l’on puisse faire tant sur l’absence apparente de généralité des conceptions infinitésimales d’Archimède que sur la difficulté de transmission de ses idées, il est certain que cet aspect de son œuvre est l’un des sommets de la mathématique antique. Pendant près de deux millénaires, ces travaux, bien qu’imparfaitement connus et encore beaucoup moins compris, seront considérés par la plupart des mathématiciens comme des modèles pratiquement inimitables. Et c’est leur influence qui, au cours de la période arabe, puis au moment de la naissance de la science moderne, à la fin du XVI^e et au début du XVII^e siècle, inspirera tous ceux qui œuvreront pour une renaissance du «calcul infinitésimal».

3. Le Moyen Âge

Le relais arabe

Dans le monde grec, Archimède n’eut ni disciple ni successeur véritable; seuls, quelques commentateurs, tel Eutocius au début du VI^e siècle, ont contribué à maintenir le souvenir de son œuvre, sans toutefois pouvoir apprécier celle-ci dans l’intégralité de sa rigueur. En revanche, dès le IX^e siècle, les mathématiciens arabes réussirent à dominer la méthode antique d’exhaustion et à obtenir, par son intermédiaire et avec l’aide de quelques procédés originaux, différents résultats, connus d’Archimède, et d’autres jusqu’alors inédits (cf. ISLAM – Les sciences dans le monde musulman). Alors que la plupart des problèmes traités par Archimède équivalent à la quadrature de ax et de ax ², on trouve chez Th bit ibn Qurra, dès le IX^e siècle, un calcul équivalant à la détermination de l’intégrale:

et cela par un procédé qui revient à diviser l’intervalle d’intégration en éléments formant une progression arithmétique. Le calcul du volume du solide de révolution engendré par la rotation d’un segment de parabole autour de sa corde (calcul qui revient à la sommation de ax ⁴) amène Ibn al-Haytham, au début du XI^e siècle, à réaliser la détermination préalable de la somme des puissances quatrièmes de la suite des entiers. Il faut encore mentionner que son contemporain, le célèbre physicien et géographe al-B 稜r n 稜, fut conduit par ses recherches sur le mouvement non uniforme à l’étude des propriétés des fonctions au voisinage de leurs maximums ou minimums et à la conception des notions de vitesse instantanée et d’accélération d’un mouvement ponctuel. De telles considérations innovent de façon remarquable sur l’Antiquité, qui ignorait pratiquement la cinématique; elles ne réapparaîtront qu’à la fin du XVII^e siècle, trop tardivement pour contribuer à la genèse de la notion de dérivée.

L’influence de la scolastique

Tandis qu’au cours de la période la plus brillante de la science arabe se manifeste ainsi, dans la tradition d’Archimède, un éclatant mais bref renouveau de l’étude des méthodes infinitésimales, certains philosophes, spécialement Avicenne et Averroès, continuent, sous l’influence d’Aristote et, indirectement, de Zénon d’Élée, à discuter des notions de continu, d’indivisible et de formes fluentes. Mais l’influence de ce courant ne semble pas avoir été très vivace. Dans l’Occident médiéval chrétien, c’est au contraire par l’intermédiaire de telles discussions philosophiques, et non dans une optique strictement mathématique que les préoccupations infinitésimales interviendront dans l’élaboration des nouveaux courants de pensée mathématique et physique. Si l’on trouve quelque vague pressentiment du calcul infinitésimal dans certaines études de dynamique entreprises, au cours de la première moitié du XIII^e siècle, par Jordanus Nemorarius, c’est, en réalité, dans l’œuvre de son contemporain Robert Grosseteste et dans celles de ses successeurs des écoles d’Oxford et de Paris que la résurgence des discussions antiques inspirées de Zénon et d’Aristote conduira à un approfondissement des conceptions d’infini, d’infiniment petit et de grandeur continue et à un pressentiment des notions de fonction, de représentation graphique, de vitesse, voire de série infinie. Ainsi, réapparaissent, en vue d’être appliquées à la mécanique et à une sorte de physique mathématique (parfois étendue abusivement à des notions aussi aberrantes que celles de blancheur ou de charité et sans le solide support mathématique qui eût été indispensable), diverses idées qui avaient trouvé de fécondes applications soit dans l’œuvre d’Archimède, soit dans certains travaux de ses disciples arabes. Si Georg Cantor devait trouver chez les scolastiques de l’école parisienne du XIII^e et du XIV^e siècle les précurseurs de ses premières réflexions sur le transfini, et si l’on peut à juste titre créditer ces auteurs d’un approfondissement de l’idée de physique mathématique et même de certains concepts touchant au calcul infinitésimal, il apparaît cependant que leur inspiration repose sur un bagage mathématique beaucoup trop réduit (ils ignorent en effet presque totalement l’apport d’Archimède et celui de l’école arabe) pour pouvoir déboucher sur un renouveau véritable du calcul infinitésimal.

4. Vers le renouveau

Redécouverte d’Archimède

Dans une perspective voisine, au XV^e siècle, le philosophe Nicolas de Cues mérite d’être mentionné, ne serait-ce que pour son influence lointaine sur Kepler, pour ses réflexions sur le principe de continuité et son affirmation de l’identité du cercle avec un polygone à un nombre infini de côtés. En fait, les œuvres d’Archimède et de ses disciples arabes, qu’ignorent les scolastiques, étaient disponibles, car, pour la plupart, elles avaient été traduites en latin dès le XII^e ou le XIII^e siècle. Mais les temps n’étaient pas mûrs, car la compréhension d’Archimède supposait l’acquisition préalable d’une culture mathématique dont le niveau ne sera progressivement atteint qu’à partir du XVI^e siècle. C’est, du reste, à ce moment que, diffusées plus largement par l’imprimerie, les œuvres du grand Syracusain commencèrent à être l’objet d’études et de réflexions plus approfondies. C’est en Italie, pays en nette avance quant à la connaissance des œuvres classiques, que, dans la seconde moitié du XVI^e siècle, se manifeste un éclatant renouveau des recherches de statique, inspiré par l’œuvre archimédienne, en réaction contre le courant, influencé par Aristote, qui avait prévalu jusque-là en Occident. Dès 1565, dans son Liber de centro gravitatis solidorum , Federigo Commandino, qui venait de publier des traductions latines de la plupart des œuvres d’Archimède, s’efforça, le premier en Occident, d’étendre les déterminations archimédiennes de centres de gravité, en utilisant les longues et délicates procédures liées à l’emploi de la méthode d’exhaustion. Ce même effort, orienté vers une assimilation et une extension des travaux d’Archimède dans le domaine de la statique, sera poursuivi par d’autres représentants de l’école italienne tels Maurolico (1575), Guido Ubaldo del Monte (1577), G. B. Benedetti (1585), et aussi dans l’œuvre plus originale et plus puissante de l’ingénieur Simon Stevin (1586) qui n’hésite pas à abandonner la lourde rigueur de la démonstration par l’absurde au profit d’une méthode plus intuitive, certes, mais aussi beaucoup plus aisément assimilable. Cette initiative audacieuse prélude à un renouveau des mathématiques infinitésimales. L’abandon provisoire d’une exigence de rigueur démesurée par rapport aux possibilités des mathématiciens de l’époque devait non seulement simplifier considérablement la présentation de la mécanique par Stevin, mais aussi rouvrir les voies de la découverte dans le domaine infinitésimal, pratiquement stérilisé depuis Archimède. Ainsi, malgré la similitude de l’intérêt qu’ils portent à la statique, Archimède et Stevin ont-ils des méthodes de démonstration qui contrastent de façon éclatante dans leurs conceptions de la rigueur et de l’efficacité. Cette situation illustre à la fois l’abîme qui sépare encore les mathématiques européennes de la fin du XVI^e siècle de leur modèle antique et l’influence féconde qu’aura l’esprit concret et audacieux de certains des animateurs de cette révolution scientifique qui s’annonce alors en Occident. L’œuvre de Stevin marque une étape importante vers la mise en lumière du concept de limite et vers l’abandon progressif du support géométrique auquel les méthodes infinitésimales se trouvaient jusqu’alors obligatoirement liées. S’il est difficile d’apprécier l’influence de l’œuvre de Stevin en ce domaine, les nombreuses éditions que connurent ses œuvres de statique, aussi bien en flamand qu’en latin et en français, permettent de supposer qu’elle fut considérable. Mais d’autres efforts, presque contemporains, convergent dans la même voie.

C’est ainsi que, en 1604 et 1606, l’Italien Luca Valerio s’efforce à son tour de traiter des problèmes de quadrature et de détermination de centres de gravité par des méthodes plus directes et plus intuitives que celles d’Archimède. Dans les problèmes de quadrature, il part de figures «en escalier» inscrites et circonscrites, composées de rectangles nombreux et de même hauteur, et cherche à éliminer la différence existant entre ces figures et la surface donnée, en augmentant le nombre de ces rectangles. Cette méthode, voisine de celle de Stevin, semblait conduire à la mise au point du concept d’intégrale définie sous sa forme la plus élémentaire. Mais son succès fut retardé par l’intervention de conceptions atomistiques d’ordre philosophique qui provoqua le recul provisoire d’une pensée mathématique pleine de dynamisme au profit de notions vagues et mal définies.

Kepler et Galilée

Une nouvelle et décisive impulsion dans la voie du progrès vint des deux principaux artisans de la révolution scientifique du début du XVII^e siècle: Kepler et Galilée.

Dès 1609, dans son Astronomia nova , Kepler considère que le principe de la démonstration de la mesure du cercle par Archimède ne réside pas dans la technique de réduction à l’absurde, mais dans la décomposition du cercle en un nombre illimité de triangles infiniment petits. En 1615, dans sa Nova stereometria doliorum vinariorum , il part d’une règle empirique utilisée par les tonneliers autrichiens pour établir, non sans quelques erreurs, les formules des volumes de certains solides de révolution. Plus que le résultat lui-même, ce sont, malgré les quelques maladresses de raisonnement, les principes de son étude qui témoignent d’une volonté originale d’uniformiser et d’algébriser certaines techniques de calcul relevant en fait du calcul intégral. Objets d’âpres critiques, ses calculs inspirèrent des tentatives de corrections, dont certaines, comme celles de Guldin (dont la Centrobaryca , 1635-1641, contient les théorèmes célèbres déjà connus de Pappus sur le volume et l’aire latérale du solide engendré par la rotation d’une figure plane autour d’un axe situé dans son plan), jouèrent un rôle non négligeable dans la genèse du calcul infinitésimal.

Galilée, pour sa part, n’apporta qu’une contribution personnelle assez réduite au perfectionnement des méthodes infinitésimales. Cependant, ayant le sentiment profond que ce problème conditionnait en partie l’essor de la science nouvelle, et tout particulièrement de la dynamique, il incita son disciple B. Cavalieri à poursuivre les recherches qu’il avait entreprises dans cette voie.

Cavalieri et la méthode des indivisibles

Cavalieri avait, en fait, commencé, dès 1621, ses travaux sur les méthodes infinitésimales des Anciens, qui le conduisirent à élaborer, peu à peu, sa théorie des «indivisibles», laquelle marque une étape capitale dans la formation des éléments du calcul intégral. Les sources de Cavalieri sont nombreuses et variées. S’il a étudié Archimède, il connaît aussi certains passages de Xénocrate et d’un pseudo-Aristote concernant la notion mathématique d’infiniment petit. S’il tire une inspiration directe des ouvrages de Commandino, de Valerio et de Kepler, voire de Stevin, il est également au fait des discussions des scolastiques sur l’infini et des commentaires de Sextus Empiricus et de Nicolas de Cues sur le continu. Enfin, sous l’influence de Galilée, il a conscience du rôle que pourront jouer les processus infinitésimaux dans l’édification de cette physique mathématique dont les premiers éléments ne sont alors qu’en gestation. Son ouvrage principal, la Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota , pratiquement rédigé en 1629, fut publié en 1635 et connut une seconde édition, très remaniée, en 1653. À tort ou à raison, il fut considéré comme une œuvre profondément originale, une sorte de mise à jour de l’œuvre d’Archimède, adaptée aux nouveaux besoins et aux nouvelles orientations de la science, et l’expression de «géométrie des indivisibles» s’appliqua, dès lors, à l’ensemble des techniques infinitésimales, bien que Cavalieri n’ait été que l’un des artisans de leur rénovation.

Partant du découpage en «escaliers», utilisé par ses prédécesseurs, Cavalieri s’efforça d’en simplifier l’application, grâce au langage des «indivisibles», résurgence d’une conception déjà esquissée dans certains passages d’Archimède et de Kepler, et remodelée sous l’influence de la philosophie atomistique. Pour Cavalieri, une ligne est constituée d’un nombre infini de points, une surface d’un nombre infini de lignes et un solide d’un nombre infini de surfaces. Grâce à d’ingénieuses transformations, la mesure d’une grandeur (surface, volume) interviendra, soit lorsque ses indivisibles pourront être aisément sommés, soit lorsqu’ils pourront être comparés à ceux de figures déjà connues. Pour le lecteur moderne, l’œuvre de Cavalieri apparaît obscure et peu rigoureuse; son exposé, purement géométrique, suggère souvent plus qu’il ne démontre. En fait, le concept d’indivisible correspond, dans une de nos intégrales définies, à la quantité placée sous le signe 咽, à ceci près que le dx n’est que sous-entendu. Tous ceux qui adoptent la méthode nouvelle sont au surplus intimement persuadés qu’elle équivaut, en réalité, à celle d’Archimède et que chaque démonstration donnée dans le langage intuitif des indivisibles peut, au prix de quelques changements, être transposée sous une forme rigoureuse, mais lourde, à la mode archimédienne. Après avoir donné des explications à ce sujet, Pascal, en 1659, juge encore utile de préciser: «J’ai voulu faire cet avertissement pour montrer que tout ce qui est démontré par les véritables règles des indivisibles se démontrera aussi à la rigueur et à la manière des Anciens; et qu’ainsi l’une de ces méthodes ne diffère de l’autre qu’en la manière de parler: ce qui ne peut blesser les personnes raisonnables quand on les a une fois averties de ce qu’on entend par là. Et c’est pourquoi je ne ferai aucune difficulté, dans la suite, d’user de ce langage des indivisibles: la somme des lignes , ou la somme des plans ; et ainsi, quand je considérerai, par exemple (fig. 2), le diamètre d’un demi-cercle divisé en un nombre indéfini de parties égales aux points Z, d’où soient menées les ordonnées ZM, je ne ferai aucune difficulté d’user de cette expression, la somme des ordonnées , qui semble n’être pas géométrique à ceux qui n’entendent pas la doctrine des indivisibles, et qui s’imaginent que c’est pécher contre la géométrie que d’exprimer un plan par un nombre indéfini de lignes; ce qui ne vient que de leur manque d’intelligence, puisqu’on n’entend autre chose par là, sinon la somme d’un nombre indéfini de rectangles faits de chaque ordonnée avec chacune des petites portions égales du diamètre, dont la somme est certainement un plan, qui ne diffère de l’espace du demi-cercle que d’une quantité moindre qu’aucune donnée.»

Le problème des tangentes

Mais il est temps de revenir aux autres savants qui ont participé, avec Cavalieri, à l’édification des méthodes nouvelles de calcul préfigurant celles du calcul infinitésimal qui seront mises au point par Newton et Leibniz dans le dernier tiers du XVII^e siècle. Avant même la publication du traité de Cavalieri, Fermat et Descartes se trouvent engagés dans d’importantes recherches concernant, en particulier, le «problème des tangentes», d’où sortiront les premiers éléments du calcul différentiel. Disciple de Viète, rénovateur de l’algèbre et grand connaisseur des œuvres de l’Antiquité, Fermat, dès 1630, a découvert une règle pour la détermination des extrémums des fonctions algébriques; cette règle est fondée sur le fait évident que, de part et d’autre de l’extrémum, la fonction reprend la même valeur. Peu après, considérant que la tangente en un point d’une courbe (convexe) est, aux environs du point de contact, tout entière d’un même côté de la courbe, il réussit à ramener la détermination de la tangente en un point d’une courbe algébrique à la recherche de l’extrémum d’une fonction algébrique, d’où il déduit la sous-tangente à la courbe donnée au point considéré.

Quelques années plus tard, Descartes est conduit par ses études d’optique à un problème équivalent: la construction de la normale en un point M d’une courbe C. La méthode qu’il découvre, et qui ne s’applique également qu’aux courbes algébriques, consiste à déterminer sur un axe donné le pied de la normale, c’est-à-dire à trouver parmi les points de cet axe celui qui est centre d’un cercle tangent à C en M, donc rencontrant cette courbe en deux points confondus avec M.

Fermat réussira à généraliser sa méthode et à l’étendre à certaines courbes transcendantes, dont la cycloïde en 1638, mais ne pourra en donner qu’une justification tardive et partielle. Quant à Descartes, il résoudra le problème de la tangente à la cycloïde en créant une méthode originale, celle du centre instantané de rotation, valable pour des courbes qui peuvent être engendrées selon un type particulier. Un troisième mathématicien français, l’«inventeur» de la cycloïde, Roberval, était intervenu dès 1637. Il applique avec succès sa méthode cinématique (équivalente à notre méthode élémentaire de détermination de la tangente à une courbe définie paramétriquement) à cette courbe et à de nombreuses autres, sans parvenir, toutefois, à donner de sa méthode une justification indiscutable: redécouverte quelques années plus tard et de façon indépendante par Torricelli, cette dernière sera ensuite largement utilisée par Barrow. Quant aux méthodes de Descartes et de Fermat, équivalentes dans leur principe, elles seront reprises sous une forme algorithmique plus précise par certains mathématiciens de la génération suivante, Hudde et Sluse notamment, qui réussiront à en dégager une expression équivalente à celle de la dérivée d’une fonction algébrique implicite. Cet effort d’algébrisation sera poursuivi par Leibniz qui, quelques années plus tard, grâce à l’introduction des différentielles, présentera beaucoup plus directement ces résultats dans son célèbre mémoire de 1684, qui fonde le calcul différentiel moderne.

Mais ce problème des tangentes (ou des normales) ne fut pas la seule voie qui ait mené à l’édification des éléments du calcul différentiel. Il est, en effet, évident que la notion si fondamentale de dérivée devait peu à peu se dégager aussi bien des considérations sur la variation des grandeurs fluentes, introduites par Neper, en 1614, et qui préludent à l’élaboration de la notion de vitesse, fruit des nombreuses discussions intervenues entre les fondateurs de la mécanique nouvelle. En ce XVII^e siècle où s’élaborent les principes de la science moderne, tous les problèmes apparaissent intimement liés et la solution de chacun d’eux ne peut, en réalité, intervenir qu’au moment où d’autres sont suffisamment éclaircis, et cette solution entraîne, à son tour, de nouveaux progrès en différents secteurs. C’est ainsi que lorsque Newton, en 1665-1666, élaborera les principes de son calcul des fluxions, les considérations cinématiques et fonctionnelles (avant la lettre) se conjugueront dans son esprit avec la méthode des tangentes et celle des indivisibles pour orienter efficacement son effort de synthèse. Et son succès dans le domaine du calcul lui permettra d’introduire des progrès décisifs en dynamique.

Problèmes de sommation

Mais il faut revenir à la méthode même des indivisibles et à l’apport des principaux rivaux de Cavalieri. La brillante école française des années 1640: Descartes, Fermat et Roberval, réussit, indépendamment de Cavalieri, à sommer les fonctions ax ^m . Puis, alors que Descartes délaisse ces problèmes au profit de la philosophie et de la physique, Fermat et Roberval somment les fonctions ax ^{m /n} , réalisent différentes cubatures, déterminent de nouveaux centres de gravité et résolvent de multiples problèmes liés à la cycloïde correspondant à l’intégration de fonctions du type x ^m sinⁿ (m et n entiers). Torricelli, qui, quelques années durant, fut leur principal rival, n’eut qu’une très brève carrière, marquée par l’introduction de quelques méthodes particulièrement originales et par quelques brillants succès, comme la première intégration des monômes ax ^-r (où r est un rationnel positif). L’atmosphère de compétition qui prévaut alors entre les principaux mathématiciens est particulièrement favorable à l’essor du nouveau calcul, car elle se situe à une phase du progrès où l’accumulation de nombreux résultats nouveaux fournit peu à peu les bases d’où sortiront les futures synthèses.

La cycloïde

Quelques problèmes privilégiés ont joué dans ce contexte un rôle particulièrement fécond. On sait déjà que la cycloïde fut un centre d’intérêt extrêmement vivant, entre 1637 et 1645; elle le redevint, entre 1658 et 1660, lorsque Pascal en fit le thème de ses célèbres défis et en développa différentes propriétés. Il convient de noter que les divers opuscules publiés, à cette occasion, par Pascal, regroupés en 1659 dans les Lettres de Dettonville , donnent, en quelque sorte, un tableau des techniques du calcul des indivisibles parvenues à l’état ultime de leur développement, quelques années avant qu’elles ne soient supplantées par les méthodes plus générales, plus rationnelles et plus puissantes du calcul infinitésimal. Le refus de Pascal d’adopter tout symbolisme de type algébrique est certainement la raison principale pour laquelle son effort ne prépare pas une telle rénovation, mais c’est de son traité que Leibniz, vers 1675, tirera l’un des éléments fondamentaux de sa synthèse: le triangle différentiel dx, dy, ds .

Logarithmes et fonction logarithmique

Un autre problème qui a joué un grand rôle dans l’évolution des techniques infinitésimales est celui de l’introduction des logarithmes, du passage progressif de la table créée par Neper, en 1614, à la notion de fonction logarithmique et à l’étude des propriétés de celle-ci.

Kepler, en 1604, à l’occasion de ses recherches optiques, et Neper, quelques années plus tard, lorsqu’il mit au point ce concept de logarithme, s’étaient déjà trouvés aux prises avec des problèmes équivalant à la définition d’une courbe à partir d’une propriété de ses tangentes, c’est-à-dire, en réalité, à la résolution d’une équation différentielle du premier ordre. Mais c’est à l’occasion d’un problème de ce type, posé en 1638 par F. Debeaune, qu’apparaît une étape importante dans la genèse du calcul infinitésimal. Lorsque Descartes, l’année suivante, en aborde la résolution, il se trouve, en effet, confronté avec des difficultés que l’insuffisance des moyens techniques dont il dispose ne lui permet pas de surmonter véritablement. Cependant, allant à l’extrême limite de ses possibilités, approchant en particulier très près de la notion de série, il pressent, sans pouvoir l’exprimer, que la solution est une courbe logarithmique en axes obliques. Et, à cette occasion, il fait la remarque extrêmement importante qu’un tel problème est l’inverse d’un problème de détermination de tangente. Perdue malheureusement dans une correspondance qui ne fut publiée qu’une vingtaine d’années plus tard, cette remarque sur l’unité profonde du calcul infinitésimal n’eut qu’une influence assez réduite.

Les essais infructueux de quadrature de l’hyperbole équilatère y = a/x devaient conduire à nouveau à cette même fonction logarithmique. La méthode générale découverte par Torricelli pour les fonctions ax ^-r ne s’appliquant en effet pas à ce cas particulier r = 1, de nombreux mathématiciens s’efforcèrent de trouver une nouvelle méthode d’intégration et étudièrent, à cette fin, les propriétés de l’aire à déterminer. Dans son Opus geometricum , de 1647, qui apporte, au milieu de quelques erreurs et d’un étonnant désordre, une méthode infinitésimale originale, le ductus in planum , inspiré par une étude attentive de Stevin, Grégoire de Saint-Vincent note qu’à des abscisses en progression géométrique correspondent des aires hyperboliques en progression arithmétique. Son disciple Sarasa en déduisit peu après la proportionnalité des aires des bandes d’hyperbole au logarithme du rapport des abscisses des parallèles qui les délimitent. Peu à peu, sans que la notion même de fonction logarithmique puisse être clairement explicitée, la quadrature des aires des segments hyperboliques au moyen des logarithmes décimaux fut considérée comme un fait acquis, en même temps que la constance du rapport numérique entre logarithmes de différentes bases.

En 1668, Mercator n’hésita pas à considérer les segments d’hyperboles comme des logarithmes, qu’il qualifia de «naturels» et qu’il calcula par intégration terme à terme de la série obtenue par le développement de 1/(1 + x ). La fonction logarithmique apparaît ainsi, à la notation près, comme définie par Log x = 咽 dx /x .

Aussi, en 1684, Leibniz put-il énoncer, par une simple formule, la solution du problème de Debeaune. Mais les progrès d’ensemble réalisés depuis que Descartes avait esquissé sa propre solution du problème en 1639 ne justifiaient peut-être pas le dédain hautain avec lequel Leibniz traita son prédécesseur.

Séries infinies. Formule du binôme

Cet exemple nous conduit tout naturellement à signaler l’apport essentiel des années 1660, l’introduction systématique des séries infinies. Certes, l’intérêt porté aux algorithmes infinis apparaît dès l’Antiquité et se retrouve dans certaines spéculations scolastiques. Dès 1593, Viète avait développé en produit infini le rapport 2/ 神 de l’aire d’un carré à celle du cercle circonscrit, mais c’est l’intérêt porté aux approximations numériques illimitées, les fractions continues en particulier, par John Wallis, chef de file de l’école britannique, qui pousse ses disciples James Gregory et Nicolas Mercator à introduire systématiquement les séries infinies et à les appliquer à la solution de problèmes d’intégration.

Cette méthode connaîtra un succès très rapide, grâce à ses propres créateurs et à Leibniz, et grâce, surtout, à Newton, qui, entre autres innovations, généralisa la célèbre formule du binôme, développement de (a + b )ⁿ . Cette formule était connue depuis longtemps pour les valeurs entières de n: sans vouloir réduire le mérite de Pascal, qui sut systématiser les notions d’analyse combinatoire, restées jusqu’alors assez intuitives, il faut rappeler que le célèbre triangle arithmétique dit de Pascal, qui donne les coefficients du binôme, était connu des mathématiciens arabes et chinois du XIII^e siècle et qu’il avait été popularisé en Europe occidentale par plusieurs algébristes du XVI^e siècle. L’apport essentiel de Newton dans cette voie est d’avoir étendu la formule du binôme aux valeurs fractionnaires et aux valeurs négatives de l’exposant, laissant toutefois à divers mathématiciens du XVIII^e siècle le mérite de justifier ces extensions de façon rigoureuse.

Barrow et Huygens

On notera encore, avant d’aborder la genèse véritable du calcul infinitésimal, que Barrow, professeur au Trinity College, perfectionna la méthode des tangentes, réutilisa, à son tour, le triangle caractéristique et affirma, aux termes près, que l’intégration est l’inverse de la différentiation. Enfin, une dernière influence doit être signalée, celle de Huygens, esprit universel, doté à la fois d’une remarquable faculté d’invention, d’un goût très sûr pour la technique et d’un sens affiné de l’élégance mathématique. S’attaquant au problème de la régulation des horloges (le résultat de ses recherches fut publié dans son Horlogium oscillatorium , de 1673), il substitue à un problème d’intégration, relevant en fait des fonctions elliptiques, un autre, relativement complexe pour l’époque, mais qu’il réussit à résoudre, obtenant ainsi une cycloïde. À cette même occasion, il est conduit à édifier de toutes pièces une théorie toute nouvelle qui se rattache à la géométrie infinitésimale, celle des développées et des développantes. En 1659 encore, il intervient dans une polémique de priorité au sujet de la rectification de la parabole semi-cubique (ay ² = x ³); si l’incident en lui-même n’a qu’un intérêt mineur, du moins révèle-t-il qu’une nouvelle perspective s’ouvre aux recherches infinitésimales.

5. La création du nouveau calcul

Newton et le calcul des fluxions

Il faut maintenant opérer un bref retour en arrière pour revenir à la création même du calcul infinitésimal, réalisée plusieurs années plus tôt, de façon quasi clandestine, par Isaac Newton. Disciple indirect de Descartes et de l’école italienne, formé par l’étude de l’ouvrage fondamental de Wallis, l’Arithmetica infinitorum (1655), et par les leçons de Barrow, Newton forgea, dès 1665-1666, les premières bases de sa version du calcul infinitésimal, le calcul des fluxions; il étudia ensuite les principes et les applications de ce nouveau calcul dans une série de travaux qu’il conserva par-devers lui et qui ne seront publiés que longtemps après: De analysis per aequationes numero terminorum infinita (1669, publié en 1711), Methodus fluxionum et serierum infinitarum (1670, publié en traduction anglaise en 1736), Tractatus de quadratura curvarum (1676, publié en 1704 en appendice à son Opticks ). Un passage de ce dernier essai donnera une idée assez précise de l’inspiration mécanique qui anime Newton dans la mise au point de cette méthode des fluxions, dont l’un des mérites essentiels était de s’appliquer à toutes les fonctions, qu’elles fussent algébriques ou transcendantes: «Je ne considère pas les grandeurs mathématiques comme formées de parties, si petites soient-elles, mais comme décrites d’un mouvement continu. Les lignes sont décrites et engendrées, non pas par la juxtaposition de leurs parties, mais par le mouvement continu de points; les surfaces, par le mouvement des lignes; les solides, par le mouvement des surfaces; les angles, par la rotation des côtés; les temps, par un flux continu. Considérant donc que les grandeurs qui croissent dans des temps égaux sont plus grandes ou plus petites, selon qu’elles croissent avec une vitesse plus grande ou plus petite, je cherchais une méthode pour déterminer les grandeurs d’après les vitesses des mouvements ou accroissements qui les engendrent. En nommant fluxions les vitesses de ces mouvements ou accroissements, tandis que les grandeurs engendrées s’appelleraient fluentes , je suis tombé, vers les années 1665 et 1666, sur la méthode des fluxions , dont je ferai usage dans la quadrature de courbes.»

Notons que Newton représente les fonctions par des lettres v , x , y , ..., les fluxions correspondantes par les mêmes lettres pointées, face="EU Updot" 郎 , face="EU Updot" 來 , face="EU Updot" 冷 ,..., les différentielles, ou «moments des fluxions», par ces symboles suivis de la lettre o signifiant «quantité infiniment petite».

Ennemi de toute publicité, aigri par l’opposition qu’il avait rencontrée, en 1672, lors de la publication de son mémoire sur la lumière, Newton poursuivit, dès lors, dans un silence presque total, la mise au point de l’œuvre immense qu’il réalisera dans les domaines des mathématiques, de la mécanique, de la mécanique céleste et de l’optique. Ainsi sa découverte du calcul des fluxions resta-t-elle quasi secrète; quelques indiscrétions dans les cercles de la Royal Society, quelques indications soigneusement chiffrées dans la correspondance indirecte qu’il échangea avec Leibniz, en 1675-1676, en resteront pendant longtemps les seules traces. Après les publications des célèbres mémoires de Leibniz, le voile du silence se déchire quelque peu; en 1687, dans ses Principia , Newton donne un premier et prudent exposé des principes de sa méthode infinitésimale qu’il applique à la résolution de nombreux problèmes de philosophie naturelle. Deux lettres publiées par Wallis en 1693 dans le tome II de ses Opera et le Tractatus (1704) apportent enfin des indications plus précises. Mais il est bien tard, les mathématiciens du continent se sont déjà ralliés, dans leur majorité, aux méthodes et aux notations de l’école de Leibniz et la compétition va prendre bientôt la forme d’une ardente rivalité et d’une pénible querelle de priorité. Aussi nous faut-il aborder maintenant l’apport du grand rival de Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz.

Leibniz et le calcul infinitésimal

Initié aux mathématiques par Huygens, Leibniz se passionna aussitôt pour l’étude des questions infinitésimales qu’il étudia dans les œuvres de Cavalieri, Descartes, Grégoire de Saint-Vincent, Mercator et surtout dans celles de Pascal; il fut également mis en contact avec l’école britannique au cours d’un bref voyage à Londres, en 1673, et demeura en relation avec Oldenburg, secrétaire de la Royal Society, qui servit parfois d’intermédiaire entre Newton et lui. En 1675, après de nombreux essais, il conçut une méthode nouvelle de calcul par une systématisation de type algébrique des divers procédés utilisés par Pascal, Barrow et Sluse. Grâce à cette méthode, il résolut différents problèmes infinitésimaux, soit des problèmes du type inverse des tangentes, qui relèvent du calcul intégral, soit des problèmes du type direct des tangentes, qui relèvent du calcul différentiel. Après quelques péripéties plus ou moins heureuses, et sachant que Newton l’avait précédé dans cette voie, il dégagea les principes de ces deux calculs, pour lesquels il forgea les notations modernes de l’intégrale et de la différentielle. Les deux mémoires qu’il publia à ce sujet, quelques années plus tard (en 1684, sur le calcul différentiel; en 1686, sur le calcul intégral), dans les Acta eruditorum , présentent, à la fois sous une forme concise et sans démonstration, les règles fondamentales et les premières applications de ces deux branches du calcul infinitésimal. Après quoi, Leibniz, absorbé par les préoccupations les plus diverses, laissa à ses disciples le soin de développer son nouveau calcul, n’y revenant lui-même que pour apporter sa propre solution à certains problèmes ou pour donner quelques éclaircissements sur les principes ou les fondements métaphysiques de sa méthode. Aussi faut-il chercher l’exposé de son calcul différentiel dans l’Analyse des infiniment petits , publiée en 1696 par le marquis de l’Hôpital, d’après Jean Bernoulli, et dont le seul énoncé des sections: Principes du calcul, Tangentes, Extrémums, Inflexions et rebroussements, Développées, Caustiques par réflexion et réfraction, Enveloppes, Cycloïdes, Méthodes de Descartes et Hudde, montre la richesse.

Quant au calcul intégral, Leibniz n’a jamais rédigé l’étude qu’il avait prévue à son sujet, et c’est dans les mémoires consacrés aux problèmes d’application que l’on doit chercher les compléments au premier exposé de 1686.

Débuts du calcul infinitésimal

Les premiers écrits sur le calcul infinitésimal, les mémoires de Leibniz (1684 et 1686), ne furent guère remarqués que par quelques Britanniques, dont Wallis, et par un professeur bâlois, Jacques Bernoulli, qui devint bientôt, avec son frère Jean, un fervent propagandiste du nouveau calcul. Au cours de la dernière décennie du XVII^e siècle, les frères Bernoulli, Leibniz et plusieurs de leurs disciples, dont le marquis de l’Hôpital, développèrent les principes et les méthodes du calcul infinitésimal leibnizien à l’occasion de problèmes d’application proposés dans les revues telles que les Acta eruditorum de Leipzig, ou le Journal des savants de Paris. En quelques années, les nouvelles méthodes furent perfectionnées et généralisées; elles démontrèrent leur indiscutable supériorité sur celles qui les avaient précédées. De très nombreux problèmes de géométrie infinitésimale, de mécanique, voire de calcul des variations, furent ainsi abordés, révélant l’immensité des possibilités nouvelles qu’elles ouvraient. Cependant, la robuste confiance dont témoignaient les artisans du nouveau calcul devant ces succès était bientôt quelque peu compromise par certaines difficultés logiques, mises en lumière tant par des mathématiciens, comme Rolle, que par des philosophes, comme Nieuwentijt. En réalité, tous les délicats problèmes posés par l’intervention des processus infinis étaient loin d’être résolus par Newton, Leibniz et leurs disciples, qui, soucieux d’efficacité, préféraient aller de l’avant plutôt que de s’attarder à des discussions philosophiques. Ces polémiques continueront au XVIII^e siècle et les tentatives faites pour clarifier et rendre plus rigoureux les principes du calcul infinitésimal ne pourront réduire totalement le malaise résultant des attaques lancées par les logiciens. L’incompétence fréquente de ces contradicteurs explique, sans le justifier, le dédain relatif manifesté pour les questions de rigueur par les mathématiciens du XVIII^e siècle, dédain qui, au début du siècle suivant, offusquera les rénovateurs de l’analyse infinitésimale: Cauchy, Abel et Bolzano.

Une mémorable querelle

Une autre pénible polémique amorcée quelques années plus tôt, reprit, en 1699, entre Leibniz et certains disciples de Newton. Cette discussion tourna bientôt en une déplorable querelle de priorité entre Leibniz et Newton, querelle à laquelle plusieurs autres savants britanniques et continentaux participèrent avec violence. La Royal Society intervint elle-même pour défendre Newton et appuyer les accusations de plagiat lancées contre son rival. S’il est certain que les deux méthodes de calcul infinitésimal prônées par Leibniz et par Newton sont nécessairement voisines dans leur esprit, elles n’en sont pas moins d’origines très différentes et la divergence de leurs symbolismes révèle beaucoup plus qu’une simple différence de forme. De plus, si Leibniz a bien selon toute vraisemblance tenté de recueillir des informations sur les résultats que Newton avait atteints, celles qu’il obtint semblent avoir été très limitées.

S’il est juste de considérer Newton comme le premier créateur du calcul infinitésimal en tant que corps de doctrine unissant les principes élémentaires des calculs différentiel et intégral, il est également juste de voir en Leibniz un autre créateur, postérieur, mais indépendant. Enfin, si la supériorité de Newton est indiscutable, car il a su exploiter lui-même son nouveau calcul en divers domaines, dont la mécanique et la mécanique céleste, Leibniz doit être crédité d’une remarquable réussite sur le plan du symbolisme et du vocabulaire. Aussi nous apparaît-il équitable de laver Leibniz des accusations dont il fut l’objet et de le considérer, avec Newton, comme l’un des deux grands créateurs du calcul infinitésimal.

6. L’apport du XVIII^e siècle

Les deux écoles

La querelle qui opposa Leibniz et Newton contribua à séparer les mathématiciens du XVIII^e siècle en deux camps: les Britanniques, disciples de Newton, qui s’efforcèrent de diffuser et de perfectionner le calcul des fluxions, et les continentaux, fervents admirateurs de Leibniz, qui réussirent à développer considérablement le nouveau calcul suivant les principes et les notations mis au point par le célèbre philosophe et ses premiers disciples. Cette séparation n’est certes pas absolue: certains mathématiciens anglais connaissent le symbolisme leibnizien, et plusieurs traités de théorie de fluxions sont réédités sur le continent. Cependant, son existence même gêne considérablement la coopération internationale et stérilise partiellement la production britannique à partir du milieu du XVIII^e siècle. À tel point que l’introduction du symbolisme leibnizien en Angleterre, vers 1820, apparaîtra comme une véritable révolution et rendra une vitalité nouvelle à l’école anglaise. À l’actif de cette école, il faut cependant citer, dans la première moitié du XVIII^e siècle, les noms de plusieurs mathématiciens éminents, rendus célèbres par d’importants théorèmes ou formules qui leur sont dus; Roger Cotes, Brook Taylor, James Stirling et Colin Maclaurin ont activement contribué au développement de la théorie des séries et à l’essor de plusieurs théories nouvelles de calcul intégral. De plus, soumis aux critiques de certains philosophes, comme Berkeley, ils ont dû mettre en œuvre une plus grande logique et donner à leurs principes une présentation plus rigoureuse.

Toutefois, c’est incontestablement l’école continentale qui prit la tête du progrès dans le domaine infinitésimal, au cours du siècle. L’avance prise par l’école leibnizienne, la supériorité de son symbolisme expliquent ce fait, tout autant que l’intervention d’un grand nombre de mathématiciens de valeur et la féconde rivalité qui les conduisit à participer au progrès de l’ensemble des branches de l’analyse. Jean et Daniel Bernoulli, Euler, Clairaut, d’Alembert, Lagrange, Laplace et Legendre sont les principaux artisans de cette extension et de ce développement du champ du calcul infinitésimal. Sans vouloir ici analyser de près cette œuvre, du moins est-il utile d’en signaler les thèmes essentiels.

Équations différentielles

On sait que plusieurs savants de la première moitié du XVII^e siècle avaient rencontré certains problèmes relatifs à des équations différentielles, problèmes auxquels ils n’avaient su donner qu’une présentation et qu’une solution imparfaites. Dès la mise au point de leurs méthodes de calcul infinitésimal, Newton et Leibniz réussirent à résoudre les formes d’équations différentielles les plus simples et leurs disciples en étudièrent de nouveaux types. Aussi peut-on considérer que l’étude classique des équations différentielles était déjà assez avancée à la fin du XVII^e siècle, et que bon nombre de méthodes élémentaires de résolution étaient déjà connues à ce moment, sans toutefois que l’attention soit portée aux conditions d’existence des solutions. Au cours du XVIII^e siècle, ces méthodes de résolution furent étendues et rendues plus rigoureuses, tandis qu’étaient abordés de nombreux types d’équations et que l’existence de solutions singulières faisait l’objet d’importantes recherches. Parallèlement, divers mathématiciens s’intéressaient aux équations aux différences totales, tandis que le calcul aux différences finies était considérablement développé.

Équations aux dérivées partielles

En 1747, à l’occasion d’une étude sur le problème des vents, d’Alembert introduisit et étudia des équations d’un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d’une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart des phénomènes physiques dépendent de plusieurs variables révélait l’importance de ce nouveau type d’équations pour l’étude des problèmes posés par les sciences physiques. Le vaste domaine ainsi ouvert aux mathématiciens fut activement exploré, tandis qu’un débat particulièrement animé opposait d’Alembert à Euler et à Daniel Bernoulli sur la nature des fonctions arbitraires intervenant dans les solutions de ces équations.

La notion de fonction

Ce débat, qui ne sera vraiment tranché qu’au XIX^e siècle, apparaît, sous un autre angle, comme une étape importante dans la mise au point progressive de la notion de fonction. Celle-ci, implicite dans la pensée de nombreux mathématiciens du XVII^e siècle, de Descartes en particulier, fut explicitée par Leibniz à la fin du siècle. Jean Bernoulli (en 1718) et Euler (en 1748) en précisèrent la classification, mais en se limitant aux fonctions qui pouvaient être définies par l’intermédiaire d’une formule mathématique. C’est la théorie des équations aux dérivées partielles qui amena Euler à admettre une notion beaucoup plus générale, notion que Daniel Bernoulli s’efforça d’exprimer sous la forme d’une série trigonométrique.

Calcul des variations

Reprenant et coordonnant, dès 1728, divers problèmes touchant aux extrémums d’intégrales, déjà étudiés par l’école de Leibniz, à la fin du XVII^e siècle, Euler sentit la nécessité d’introduire dans ce domaine des méthodes plus générales. Après avoir repris l’étude du célèbre problème des isopérimètres, il exposa, en 1744, la première méthode générale pour résoudre les problèmes d’extrémums, créant ainsi une discipline nouvelle qu’il dénommera, en 1766, calcul des variations.

Mais, dès 1762, le jeune Lagrange réussissait à la fois à donner un fondement purement analytique aux formules découvertes par Euler, à améliorer son symbolisme et à généraliser le problème étudié. L’étude de nombreuses applications de cette branche nouvelle du calcul infinitésimal fit apprécier l’intérêt et la puissance des méthodes ainsi découvertes.

D’Alembert et la théorie des limites

L’une des faiblesses essentielles des œuvres de Leibniz, de Newton et de leurs disciples résidait en la faiblesse logique des développements touchant à des notions de base, telles que celles d’infiniment petit et de limite. Sans porter une attention suffisante aux principes du nouveau calcul, les savants du XVIII^e siècle n’en négligèrent cependant pas totalement l’étude. Le succès des Éléments de la géométrie de l’infini de Fontenelle (1728) est une preuve de l’intérêt porté à ces questions. Dans l’Encyclopédie et dans les Éclaircissements sur les éléments de philosophie (1767), d’Alembert, s’inspirant des conceptions développées en Angleterre par Robins et par Maclaurin, exposa les propriétés des infiniment petits des différents ordres d’une manière beaucoup plus rigoureuse que ne l’avaient fait Leibniz et ses premiers disciples. D’Alembert tenta également d’édifier l’analyse sur la théorie des limites. Bien que son exposé soit insuffisamment fondé, il servira de point de départ à la présentation rigoureuse que Cauchy fera de cette théorie au siècle suivant. Rival de d’Alembert, Euler ne se rallia pas à sa théorie, préférant adopter un point de vue proche de celui, assez dogmatique, de Fontenelle.

La théorie des fonctions de Lagrange

Quant à Lagrange, estimant la méthode des limites entachée d’un recours à la métaphysique et suspectant la rigueur de la méthode des infiniment petits, il s’efforça, dès 1772, de fonder l’analyse sur des méthodes algébriques et en particulier sur l’emploi des développements en séries de Taylor. Ses conceptions furent ultérieurement développées dans sa Théorie des fonctions analytiques (1797) et dans ses Leçons sur le calcul des fonctions (1799).

Commençant par étudier le développement taylorien d’une fonction au voisinage d’une valeur a de la variable indépendante, il comprit l’importance du reste, mais négligea les conditions d’existence et omit de vérifier que le développement obtenu représentait bien la fonction initiale, maladresses bien caractéristiques d’une époque où le sens de la rigueur n’était guère plus répandu en algèbre qu’en analyse. Dérivant la série obtenue, avec son reste, il définit les fonctions dérivées, qu’il note f (x ), f (x ), ..., à l’aide des coefficients successifs du développement. Critiquée à son époque pour ses notations et son emploi incommodes, cette tentative échoua en raison de l’imprécision des conceptions relatives à la convergence des séries et à la définition même des fonctions. Elle eut cependant le mérite d’attirer l’attention sur l’étude abstraite des fonctions, qui, par l’intermédiaire de Cauchy, de Riemann et de Weierstrass, conduira à la création de la théorie des fonctions de variables réelles.

Apports divers

On ne peut terminer ce survol très rapide de l’évolution du calcul infinitésimal au cours du XVIII^e siècle sans rappeler que les séries continuèrent à être très utilisées, mais sans qu’une attention suffisante fût portée au problème de leur convergence. Parmi les problèmes qui furent spécialement étudiés et qui firent progresser la science infinitésimale, il faut noter la recherche de la figure d’équilibre d’une masse fluide en rotation et la recherche de l’attraction exercée par un ellipsoïde homogène en un point situé sur son axe ou sur sa surface; problèmes qui conduisirent à l’introduction des polynômes de Legendre, de la fonction potentielle et de l’équation de Laplace. Enfin, grâce à Fagnano, à Euler et à Legendre, l’étude des intégrales elliptiques fut abordée de façon systématique. Legendre, en particulier, consacra à ce thème d’importantes recherches et publia plusieurs mises au point, qui donnent l’état du problème avant le renouvellement d’ensemble introduit, entre 1825 et 1830, par les travaux d’Abel et de Jacobi.

Vers une rénovation du calcul infinitésimal

Au début du XIX^e siècle, le calcul infinitésimal apparaît comme un vaste domaine aux secteurs nombreux et différenciés, où la recherche continue activement, mais sans que soient mises en avant des conceptions profondément originales, comme celles qui avaient suscité l’élaboration du calcul infinitésimal et celles de ses branches principales. Les importants traités de Lagrange et de Lacroix rassemblaient l’ensemble des résultats déjà obtenus qu’ils présentaient comme un édifice harmonieux et solide. Cette vision optimiste de la situation était loin de la réalité. Dès le début du siècle, les travaux de Gauss attireront déjà l’attention sur l’insuffisance de nombreuses démonstrations et sur le manque de solidité des principes de base des principaux domaines des mathématiques.

Mais, bientôt, les travaux, les recherches et les réflexions de Cauchy, de Bolzano, d’Abel, de Fourier révéleront à quel point les fondations du calcul infinitésimal classique étaient fragiles. Les notions les plus fondamentales, celles de fonction, de continuité, d’infiniment petit, de série, d’intégrale définie, durent donc être l’objet de profondes mises au point et de nouvelles définitions, tandis que l’introduction systématique des fonctions de variables complexes, abordée au XVIII^e siècle pour certains types de fonctions, renouvelait l’ensemble du domaine de l’analyse. Ainsi, au moment même où les principaux objectifs des fondateurs du calcul infinitésimal semblaient prêts d’être réalisés, au moment où ce calcul paraissait devoir fournir à la physique mathématique naissante le puissant outil qu’elle réclamait, de nouvelles mises en question des principes allaient bouleverser entièrement ce domaine, ouvrir l’accès à de nouvelles branches de la science et fournir de nouveaux sujets de recherches et de réflexion. On n’abordera pas ici cet aspect moderne du calcul infinitésimal dont les grands courants sont analysés dans l’article ANALYSE MATHÉMATIQUE.

Encyclopédie Universelle. 2012.